集合の集合というのが集合族（family of sets）のイメージになります.
集合族の直和（direct sum）:
集合族 $\{x_{i}\}_{i \in I}$ の直和（direct sum）は次のように定義されます.\[\sum_{i \in I}x_{i}:=\{\langle i,u \rangle|i \in I \land u \in x_{i} \}\]ここで，$\langle i,u \rangle$ は $i$ と $u$ の順序のついた組を表していて順序対（ordered pair）といいます.
集合族の直積（direct product,Cartesian product）:
集合族 $\{x_{i}\}_{i \in I}$ の直積（direct product,Cartesian product）は次のように定義されます.\[\prod_{i \in I}x_{i}:=\{f:I \to \bigcup_{i \in I}x_{i}|\forall i \in I[f(i) \in x_{i}]\}\]これは，\[I=\{1,2,\ldots,n\}\]であるとすると，写像 \[f \in \prod_{i \in I}x_{i}\]に対して，組\[(f(1),\ldots,f(n)) \in x_{1} \times \cdots \times x_{n}\]を対応させることと同じことを意味しています.
つまり，元を並べていったものの集まりである\[x_{1} \times \cdots \times x_{n}\]を一般化したものということになります.
Mathematics is the language with which God has written the universe.