C＊環
C*-環[C*-algebra]
集合 $A$ が以下の条件を満たすとき $C*-$環と言います.
- $A$ は複素数体 $\mathbb{C}$ 上の体上の多元環
- 対合 $*:a \mapsto a^{*}$ があって、
- $(\lambda a + \mu b)=\lambda a^{*} + \mu b^{*}$
- $(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$
- $(a^{*})^{*}=a$
が任意の$a,b \in A,\lambda,\mu \in \mathbb{C}$について成り立つ. - $A$にノルムが存在し、任意の$a,b \in A$について、$\|ab\| \leq \|a\| \|b\|$が成り立ち、$A$はこのノルムに関して完備.
- 任意の $a \in A$ に関してノルムの$C^{*}-$性[$C^{*}-$property of the norm]が成り立つ.$\|aa^{*}\|=\|a\|^{2}$
上の条件のうち、1、2を満たすものを$*-$環、条件1、3を満たすものをバナッハ環、条件1、2、3を満たすものをバナッハ$*-$環[$B^{*}-$環]と言います.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
