ツォルンの補題

定理：Zorn's Lemma

半順序集合 $(P, \leq)$ において,$P$ の任意の全順序部分集合が上界を持つならば,$P$ は極大元を持つ.

ここで,

半順序集合：反射律,反対称律,推移律を満たす順序関係を持つ集合.
全順序部分集合：集合の任意の2つの要素が比較可能な部分集合.
上界：ある集合のすべての要素よりも大きいか等しい要素.
極大元：自分自身より真に大きい要素が存在しない要素.

である.

ツォルンの補題の重要性

存在証明：多くの数学的対象の存在を証明するのに使用される.
選択公理との同値性：選択公理と論理的に同値であり,その代替として使用される.

証明のステップ

目的の対象を含む集合族を定義.
この集合族に半順序を導入.
任意の全順序部分集合が上界を持つことを示す.
ツォルンの補題を適用して,極大元の存在を結論付ける.
この極大元が目的の性質を持つことを証明.

集合論の公理系によっては,ツォルンの補題を公理として採用する.また,ツォルンの補題は,整列定理,選択公理と同値である.