ハザード関数

定義：hazard function

時刻 $x$ において生存している個体のうち,その後,短期間に死亡する個体の率を表現するハザード関数 $h(t)$ は,確率密度関数を $f(t)$, 生存関数を $S(t)$ として,以下のように定義される.\[h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt}\ln S(t)\]

生存関数は瞬間的な故障率を意味している.

ハザード関数の導出

生存関数 $S(t)$ は,\[ S(t) = P(T > t) \]と定義される.ここで,$T$ は生存時間[または故障時間]を表す確率変数である.次に,累積分布関数 $F(t)$ との関係を考える.\[ F(t) = P(T \leq t) = 1 - S(t) \]また,確率密度関数 $f(t)$ は累積分布関数 $F(t)$ の導関数として定義される.\[ f(t) = \frac{d}{dt}F(t) \]この関係を用いて$f(t)$ を $S(t)$ で表現すると,\[\begin{align*}f(t) &= \frac{d}{dt}F(t) \\&= \frac{d}{dt}[1 - S(t)] \\ &= -\frac{d}{dt}S(t)\end{align*}\]以上より,

生存関数 $S(t)$ は時間とともに減少（生存確率が下がる）
一方,累積分布関数 $F(t)$ は時間とともに増加（事象が発生する確率が上がる）
$F(t)$ と $S(t)$ は補完的な関係にあり,その和は常に1
従って,$f(t)$ を $S(t)$ の導関数で表現するとマイナスの符号が付く

INDEX