再生性

定義：reproductive property

確率分布の族 $ \mathcal{F}$ が再生性を持つとは,$\forall X, Y \in \mathcal{F}$ に対して, $X$ と $Y$ が独立であるとき,\[X + Y \in \mathcal{F}\]となることである.

再生性は,畳み込み演算 $*$ を用いると以下のように表現できる.\[f_{X}, f_{Y} \in \mathcal{F} \Longrightarrow f_{X} * f_{Y} \in \mathcal{F}\]ここで,$f_{X}$ と $f_{Y}$ はそれぞれ $X$ と $Y$ の確率密度関数である.

確率分布族 $\mathcal{F}$ が再生性を持つための必要十分条件は,その特性関数 $\phi(t)$ が以下の形式を持つことである.\[ \phi(t) = [g(t)]^{\alpha} \]ここで,$g(t)$ はある関数で,$\alpha$ はパラメータを表す.

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