同時確率密度関数

同時確率密度関数 $f(x,y)$ の性質

• 非負性：$f(x,y) \geq 0$ （すべての $x, y$ について）
• 全確率が1：\[\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1\]
• 特定の領域 $A$ における確率：\[P((X,Y) \in A) = \iint_A f(x,y) \, dx \, dy\]

同時累積分布関数と同時確率密度関数の関係

\[F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v) \, du \, dv\]また,同時確率密度関数から周辺確率密度関数を得ることが出来る.\[\begin{align*}f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy \\f_Y(y) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx\end{align*}\]

条件付き確率密度関

条件付き確率密度関数は以下のように定義される.\[\begin{align*}f_{Y|X}(y|x) &= \frac{f(x,y)}{f_X(x)} \quad \text{（$f_X(x) > 0$ のとき）} \\f_{X|Y}(x|y) &= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \quad \text{（$f_Y(y) > 0$ のとき）}\end{align*}\]この定義により,同時確率密度関数は同時累積分布関数の2階偏微分として表現される.これは,確率密度が累積分布の変化率を表すという直感的な解釈と一致する.

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