確率質量関数
定義：Probability Mass Function, PMF
\[X : S \to A \quad (A \subseteq \mathbb{R}) \]を標本空間 $S$ に定義される離散型確率変数とすると, $X$ に対する確率質量関数 \[f_X : A \to [0, 1]\]は次のように定義される:\[f_X(x) = P(X = x) \quad \text{for} \ x \in A\]ここで,$x$ は $X$ が取りうる値の集合 $\mathcal{X}$ の要素である.
確率質量関数の性質
- 非負性：すべての $x \in \mathcal{X}$ に対して,\[p_X(x) \geq 0\]
- 正規化条件：確率の総和は1となる.\[\sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) = 1\]
- 確率の計算：事象 $A$ の確率は、$A$ に含まれる $x$ の確率質量関数の和として計算される.\[P(X \in A) = \sum_{x \in A} p_X(x)\]
- 期待値：確率変数 $X$ の期待値は以下のように計算される.\[E[X] = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \cdot p_X(x)\]
- 分散：確率変数 $X$ の分散は以下のように計算される.\[Var(X) = E[(X - E[X])^2] = \sum_{x \in \mathcal{X}} (x - E[X])^2 \cdot p_X(x)\]
確率質量関数と累積分布関数の関係
\[F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} p_X(t)\]ここで,$F_X(x)$ は累積分布関数を表わす.なお,確率質量関数は離散型確率変数でのみ定義され,連続型確率変数の場合は確率密度関数が用いられる.
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