累積分布関数
定義：cummulative distribution function
確率変数 $X$ の累積分布関数 $F_X(x)$ は以下のように定義される.\[F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt\]ここで,
- $F_X(x)$ は $X$ の累積分布関数
- $P(X \leq x)$ は $X$ が $x$ 以下となる確率
- $f_X(t)$ は $X$ の確率密度関数
を示す.
累積分布関数は以下の性質を有する.
- $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$
- $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$
- $F_X(x)$ は単調非減少関数
- $F_X(x)$ は右連続関数
なお,離散型確率変数の場合,累積分布関数は以下のように定義される.\[F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} P(X = t)\]
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