分布関数と特性関数は1対1に対応する関数．確率密度関数や積率母関数が存在しない場合でも，ある確率分布の特性関数は常に存在する．
確率変数 $X$ について，その特性関数は，$i$を虚数，$t \in \mathbb{R}$を引数として，$e^{itX}$ の期待値として定義される．\[\varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C}; \]\[\varphi_X(t) = \operatorname{E}\big[e^{itX}\big] = \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF_X(x)\]\[\left( = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\,dx \right)\]ここで，$F_{X}$ は $X$ のリーマン＝スティルチェス型積分による累積分布関数である．
Mathematics is the language with which God has written the universe.