確率変数

ランダムな現象の結果の集合の標本空間$\Omega$と，$\Omega$の部分集合からなる$\sigma$-集合体$\mathscr{F}$があるとします．

このとき，この標本空間$\Omega$と$\sigma$-集合体$\mathscr{F}$の組$(\Omega,\mathscr{F})$を可測空間[measurable space]といいます．

ここに，$\mathscr{F}$の要素である各部分集合[事象]に割り当てられた確率$P$を考えるとき，これらの組$(\Omega,\mathscr{F},P)$を確率空間といいます．

ここで，確率変数を定義します．

【定義】確率変数

可測空間$(\Omega,\mathscr{F})$において，$\Omega$上の実数値関数$X$が，\[\{\omega|X(\omega) \leqq a\} \in \mathscr{F}\]とう関係を満たすとき，$X$を確率変数といいます．

この定義によって，確率変数の値が$a$以下となる事象がどんな$a$についても存在することになります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.