三角関数

[trigonometric function]

正弦[sine]

\[sin \theta = \frac{b}{a}\]

Juliaで描画.

import Pkg; Pkg.add("Plots")
using Plots
f(x) = cos(x)
x=0.0:0.2:2.5π #x=0からx=2πまで，0.2刻みの配列を生成
y=f.(x) #関数fをxに適用
f2(x) = sin(x)
x=0.0:0.2:2.5π
y2=f2.(x) #関数f2をxに適用
xticks_values = [0,π/2,π,3π/2,2π,5π/2]
xticks_labels = ["0","π/2","π","3π/2","2π","5π/2"]
yticks_values = [-1.0,-0.5,0,0.5,1.0]
yticks_labels = ["-1.0","-0.5","0.0","0.5","1.0"]
plot(x,y2,labels="sin(x)",xticks = (xticks_values,xticks_labels),
    yticks = (yticks_values,yticks_labels),
    ) 
plot!(x,y,labels="cos(x)",xticks = (xticks_values,xticks_labels),
    yticks = (yticks_values,yticks_labels),
    ) 

Pythonで描画.

# -*- coding: utf-8 -*-
from numpy import *
import pylab as plt
#“linspace(開始値，終了値，分割数)”で線形数列を生成
x = linspace(-3*pi, 3*pi, 150)
#数列をsinの引数に入れて，sin(x)の数列を生成
y = sin(x)
plt.plot(x, y, color="k", marker="o",markersize="2")
#plotした関数を表示
plt.show()

余弦[cosine]

\[cos \theta = \frac{c}{a}\]

正接[tangent]

\[cos \theta = \frac{b}{c}\]

正割[secant]

\[sec \theta = \frac{a}{c}=\frac{1}{cos \theta}\]

余割[cosecant]

\[cosec \theta = \frac{a}{b}=\frac{1}{sin \theta}\]

余接[cotangent]

\[cot \theta = \frac{b}{c}=\frac{1}{tan \theta}\]

正と余の関係

$\angle \theta$ の余角（co-angle）は $90^\circ - \angle \theta$ となります．

そうすると，余弦，余割，余接は余角に対する正弦，正割，正接として表されます．\[cos \theta = sin(90^\circ - \theta)\]\[cosec \theta = sec(90^\circ - \theta)\]\[cot \theta = tan(90^\circ - \theta)\]

ピタゴラスの基本三角関数公式 Fundamental Pythagorean trigonometric identity

から，\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]となる．

ここで，\[sin \theta = \frac{b}{a}\]なので，\[a \cdot sin \theta = b\tag{1}\]となる．

また，\[cos \theta = \frac{c}{a}\]なので，\[a \cdot cos \theta = c\tag{2}\]となる．

$(1)$と$(2)$から，\[\begin{align} a^{2} &= b^{2}+c^{2} \\ &=a^{2} \cdot sin^{2} \theta + a^{2} \cdot cos^{2} \theta\\ &=a^{2}\cdot (sin^{2} \theta + cos^{2} \theta ) \end{align} \]両辺を $a^{2}$ で割ると，以下の関係式が得られる．

ピタゴラスの定理の一般化と第2余弦定理

ピタゴラスの定理[Pythagorean theorem]は直角三角形に対して成り立つ定理である．これを直角三角形以外に一般化したものが第2余弦定理[law of cosines, cosine formula]である．なお，一般的に余弦定理と言えば，第2余弦定理のことを指す．

上の図から，\[cos \theta =\frac{d}{a}\]となるので，\[d=a \cdot cos \theta\]となる．

さらに，\[sin \theta = \frac{e}{a}\]なので，\[e = a \cdot sin \theta\]となる．

ここで，\[\begin{align} f &= c-d \\ &=c-a \cdot cos \theta \end{align} \]であることより，\[b^{2}=e^{2}+f^{2}\]というピタゴラスの定理に，\[e=a \cdot sin \theta\]\[f=c-a \cdot cos \theta \]を代入し，\[\begin{align} b^{2} &=e^{2}+f^{2} \\ &=(a \cdot sin \theta)^{2}+(c-a \cdot cos \theta)^{2}\\ &=a^{2} \cdot sin^{2}\theta + c^{2}-2ac \cdot cos \theta + a^{2} \cdot cos^{2} \theta \\ &=c^{2}+a^{2}(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta)-2ac \cdot cos \theta \end{align}\]ここで，ピタゴラスの基本三角関数公式より，\[sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\]であるから，結局，以下の定理が成り立つ．

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