ここで，区間 $[-L,L]$ で定義された周期 $2L$ に変換する.
つまり,周期 $2\pi$ の $\theta$ を周期 $2L$ の変数 $x$ に変換する.\[x:=\frac{L\theta}{\pi}\]とすると，$\theta$ が $-\pi$ のときには $x$ は $-L$ となり，$\theta$ が $\pi$ のときには $x$ は $L$ となる.
変数を $\theta$ から $x$ に変換した関数を $f(x)$ とすると,\[g(\theta)=g \left(\frac{\pi x}{L}\right):= f(x)\]となる.
変数変換のために,$x$ を $\theta$ で微分すると,\[\frac{dx}{d\theta}=\frac{L}{\pi}\]つまり,\[dx=\frac{L}{\pi}d\theta,d\theta=\frac{\pi}{L}dx\]となる.
以上の式を使って,\[\begin{eqnarray}a_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta d\theta\\b_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta d\theta \end{eqnarray}\]を書き換える.
すると,\[\begin{eqnarray}a_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\theta) \cos n\theta d\theta\\&=&\frac{1}{\pi}\int_{-L}^{L}g(\frac{\pi x}{L})\cos (\frac{n \pi x}{L})\frac{\pi}{L}dx\\&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos (\frac{n \pi x}{L})dx \end{eqnarray}\]同様にして,\[\begin{eqnarray}b_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\theta) \sin n\theta d\theta\\&=&\frac{1}{\pi}\int_{-L}^{L}g(\frac{\pi x}{L})\sin (\frac{n \pi x}{L})\frac{\pi}{L}dx\\&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin (\frac{n \pi x}{L})dx \end{eqnarray}\]となる.
