表現空間

表現空間は,多くの場合,元の空間よりも低次元であったり,より構造化されている.

表現空間 $Z$ は,以下の性質を満たす位相空間として定義される：\[ Z = (S, T) \]ここで,$S$ は集合,$T$ は $S$ 上の位相であるとする.

表現空間が満たすべき性質：

• 次元：\[ \dim(Z) \leq \dim(X) \]ここで,$X$ は元のデータ空間,$\dim$ は次元を表す関数.
• 距離関数：\[ d : Z \times Z \to \mathbb{R}^+ \]これは $Z$ 上の表現間の類似性を測る距離関数である.
• 写像：\[ f : X \to Z \]これは連続写像であり,データ空間から表現空間への変換を意味している.
• 逆写像：\[ g : Z \to X \]この条件は必須ではない.なお,これは連続写像であり,表現空間から元のデータ空間への逆変換を表している.
• 不変性条件：\[ \forall x \in X, \forall t \in T : f(t(x)) = f(x) \]この条件は必須ではない.なお,ここで,$T$ は不変であるべき変換の集合を表す.
• 疎性条件：\[ \forall z \in Z : \|z\|_0 \leq k \]この条件は必須ではない.なお,ここで,$\|\cdot\|_0$ は $L_0$ ノルム[非ゼロ要素の数],$k$ は定数である.
• 多様体構造：この条件は必須ではない.なお,$Z$ は $d$ 次元の微分可能多様体とし,局所的に $\mathbb{R}^d$ と同相である.

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